Zunächst einmal haben die Beschäftigen ein Recht auf eine entsprechende Ausstattung des Arbeitsplatzes durch den AG. In wie weit dieses Recht in unserer heutigen Arbeitslandschaft durchzusetzen ist, vermag ich nicht wirklich zu beurteilen.
Hier ist tasächlich zunächst der AG gefragt.

Dennoch können, sowohl bei gleichgestellten und anerkannt schwerbehinderten Beschäftigten, Leistungen zur Teilhabe, wie z.B. behinderungsbedingt notwendige Arbeitsmittel, beim zuständigen Rehaträger beantragt werden.
Dies ist für gewöhnlich
- die Agentur für Arbeit für Angestellte, die noch keine 15 sozialversicherungspflichtigen Jahre hinter sich haben
- die DRV (Land oder Bund), für alle Beschäftigten, die die berühmten 15 Jahre voll haben.
- die gesetzliche Unfallversicherung, falls die Behinderung beispielsweise auf einen Arbeitsunfall zurückzuführen ist.
Für Beamte gilt: Zuständigkeit ist hier beim Integrationsamt (in NRW: Örtliche Fürsorgestellen)gegeben, da Beamte de jure keinen Rehaträger haben (ich hoffe, ich liege richtigt...).
Achtung: Es gibt Sonderfälle für Zuständigkeiten in den Fällen, in denen eine akute Behinderungsveränderung aufgetreten ist. (Könnte hier möglicherweise der Fall sein).

Mein Tipp wie ich es angehen würde: Arbeitgeber ins Boot holen, FaSi und Betriebsarzt ebenfalls, Kontakt zum Integrationsamt herstellen, Antrag auf Leistung zu Teilhabe - behinderungsgerechte Arbeitsplatzausstattung- stellen, Kostenvoranschläge besorgen bzw. fachtechnische Beratung anfordern. Das Integrationsamt kann dann letztlich die Zuständigkeit "klären".

So käme das Verfahren zumindest zielgerichtet in Gang.

Anmerkung: Aus Erfahrung bin ich gegenüber ärztlichen Attesten zunächst einmal kritisch. Kennt der Arzt den Arbeitsplatz und die konkrete jetzige Ausstattung? Hat er konkrete Angaben gemacht, wie die ergonomische Gestaltung beim Bürodrehstuhl aussehen soll (z.B. besondere Lordosenunterstützung oder oder)?
Mit anderen Worten: Was heißt hier ergonomisch konkret? Läuft es auf eine Einzelanfertigung hinaus? Oder reicht etwas "von der Stange?