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Zu deinem eigentlichen Problem:

Der Arbeitgeber darf dir keinen Schlüssel zu den Räumen des Betriebsrates aushändigen, denn der Betriebsrat übt in "seinen" Räumen das "Hausrecht" aus. Hier ist der Betriebsrat als Gremium gemeint und nicht der Vorsitzende des Betriebsrates, weil er es als sein Büro ansieht.

Der Arbeitgeber hat gemäß § 40 Abs. 2 BetrVG ausreichende (= im erforderlichen Umfang) Sachmittel bereitzustellen. Wenn dies erfolgt ist, kann die SBV gemäß § 179 Abs. 9 SGB IX darüber verfügen. Dies aber nur, wenn "soweit ihr hierfür nicht eigene Räume und sächliche Mittel zur Verfügung gestellt werden" und die Sachmittel des Betriebsrates im erforderlichen Umfang bereitgestellt worden sind.
Die SBV muss also ihren Bedarf zuerst an den Betriebsrat stellen, damit dieser prüfen kann ob der Bedarf der SBV mit den bereitgestellten Sachmittel abgedeckt werden kann.
Sollte dies nicht der Fall sein, kann der Betriebsrat zur Abdeckung der Anforderungen der SBV diese Sachmittel beim Arbeitgeber einfordern.
Jetzt kann der Arbeitgeber entscheiden ob weitere (erforderliche) Sachmittel den Betriebsrat bereitstellt werden oder der Bedarf der SBV direkt bereitgestellt wird.

Zum Verständnis ein Beispiel:
Dem Betriebsrat ist ein kleiner Raum um die 12 qm bereitgestellt worden. Es gibt zwei freigestellte Betriebsräte. Die beiden Betriebsräte sind mit den engen Raumverhältnisse zu frieden und das restliche Gremium hat seine Arbeitsplätze. Für die regelmäßigen Sitzungen wurde ein Besprechungsraum reserviert. Sondersitzungen des siebenköpfigen Betriebsrates finden im bereitgestellten Raum statt (Luft wie im Tigerkäfig nach 2 Minuten!). Jetzt will die SBV ihrem Bedarf für Sprechstunden und Beratungsgespräche dort durchzuführen? Der Raum ist nicht Rollstuhlgerecht, noch können dort Gespräch anonym geführt werden. Hier sei darauf hingewiesen, dass der Betriebsrat nur für abhängig Beschäftigte zuständig ist, aber die SBV für alle Beschäftigte, also auch für die leitenden (leidenden) Angestellten.
Und was sollen die zwei Betriebsräte in der Zeit der SBV-Nutzung tun? Ein klarer Fall von unzureichenden Sachmittel.