Also für mich stellt sich hier wirklich die Frage, ob die Mitarbeiter zum putzen eines größeren Pausenraumes verpflichtet werden können, weil das Unternehmen Geld einsparen will. Was sagt denn der Br dazu?

Hier bietet sich wirklich die Zusammenarbeit mit dem BR an, um im Anschluss gemeinsam mit dem Vorgesetzten nach einer einvernehmlichen Lösung zu suchen.

Falls der Arbeitgeber nicht verpflichtet ist, diese Stockwerksküche als Pausenraum vorzuhalten (weil z. B. fußläufig eine Kantine oder ein anderer Pausenraum existiert), kann die Lösung des Reinigungsproblems mit Blick auf das Budget natürlich auch schlicht und ergreifend in der Schließung dieses einen Pausenraumes bestehen.

Man mag mit arbeitsvertraglichen Haupt- und Nebenpflichten argumentieren, muss sich dann aber unter Umständen nicht wundern, wenn die Gegenseite sich ebenfalls auf formale rechtliche Gesichtspunkte zurückzieht.

Ob das dem Klima im Betrieb zuträglich ist, würde ich in Zweifel ziehen.

Mein Tipp: Überlegt, wie beide Interessen (allgemeine Einparbemühungen des Arbeitgebers, Wunsch nach guten Pausenräumen) befriedigt werden können. Das kann am Besten vor Ort beurteilt werden, Ihr kennt euer Unternehmen besser als das Forum.