Hallo Birgit,
die nachfolgenden Anregungen sind durch deine Anmerkung "aber: unser Arbeitgeber hat alles richtig gemacht" ausgelöst.

Durch das Bundesteilhabegesetz ist auf Anregung des Bundesrates, also der Länderkammervertretung, eine Änderung für öffentliche Arbeitgeber in das SGB IX in § 165 SGB IX gekommen.
"Die Dienststellen der öffentlichen Arbeitgeber melden nach einer erfolglosen Prüfung zur internen Besetzung des Arbeitsplatzes den Agenturen für Arbeit frühzeitig frei werdende und neu zu besetzende Arbeitsplätze (§ 156) ...

Frage: Hat der Arbeitgeber vor der Stellenausschreibung die interne Besetzung mit schwerbehinderten oder gleichgestellten Kolleginnen und Kollegen geprüft?

Frage: Wie geprüft - hat die Prüfungen nach § 164 Abs. 1 Satz 1/6 SGB IX stattgefunden?

"Die Prüfungspflicht nach § 81 (jetzt neu 164) Abs. 1 Satz 1 SGB IX beschränkt sich nicht auf bei der Agentur für Arbeit arbeitslos oder arbeitssuchend gemeldete Menschen. Das folgt schon aus dem Gesetzeswortlaut. Danach hat der Arbeitgeber zu prüfen, ob freie Arbeitsplätze „insbesondere“ mit arbeitslos oder arbeitssuchend gemeldeten schwerbehinderten Menschen besetzt werden können. Die Hervorhebung dieser Personengruppe weist darauf hin, dass die Pflicht auch gegenüber anderen nicht arbeitslosen oder arbeitssuchenden schwerbehinderten Menschen bestehen soll. Damit ist der Arbeitgeber auch verpflichtet zu prüfen, ob der freie Arbeitsplatz mit einem bereits bei ihm beschäftigten schwerbehinderten Arbeitnehmer besetzt werden kann. "
so das Bundesarbeitsgericht (BAG), 9 AZR 839/08 vom 17. 08 2010 Rn. 37ff

Diese Verpflichtung zur Prüfung besteht seit der Änderung des SGB IX im Jahre 2001. Die Prüfung hat gemäß § 164 Abs. 1 Satz 6 mit Beteiligung der SBV und dem BR/PR zu erfolgen. Bei der Prüfung nach § 164 Abs. 1 Satz 1SGB IX hören die Arbeitgeber die Schwerbehindertenvertretung nach § 178 Absatz 2 SGB IX an.

Frage: Wurde die offene Stelle nach der internen Prüfung insbesondere der Agentur für Arbeit gemeldet und ein Vermittlungsauftrag beauftragt?

"Es wird festgestellt, dass der Betriebsrat die Zustimmung zu einer Einstellung wirksam mit der Begründung verweigern kann, die Arbeitgeberin habe es – wie anlässlich der Stellenausschreibung B 186 – im Hinblick auf die sich aus § 81 (jetzt neu 164) Abs. 1 SGB IX ergebenden Pflichten unterlassen, bei der Bundesagentur für Arbeit eine betreute Vermittlung zu veranlassen, entweder durch einen individuellen Vermittlungsauftrag gegenüber der zuständigen Arbeitsagentur oder eine diesem gleich kommende Erklärung im Online-Portal der Bundesagentur, derzeit durch Anklicken des Buttons „Vermittlungsauftrag erfassen“ in der Produktlinie „Betreuung“, wenn die Arbeitgeberin nicht entsprechend vorgegangen ist."
So das LAG Berlin im Beschluss 26 TaBV 1164/13 vom 12.12.2013

Nur so zu "alles richtig gemacht" oder wurde "vieles/manches richtig gemacht"
Es könne nach meiner Erfahrung hier Handlungsbedarf bestehen.