Danke für die weiteren Angaben.
Ich bin nicht im öffentlichen Dienst in Bayern tätig aber:

Wenn die Ausschreibung von der externen Firma erfolgt sehe ich für die Ausschreibungsunterlagen vermutlich keine Beteiligung der SBV. Weil das ja eine betriebsfremde Firma ist in Bezug auf die Behörde.

Allerdings gilt dann natürlich immer noch § 178 SGB IX, wobei ich das nicht soweit dehnbar halte das daraus ein Anspruch auf Ausschreibungen einer externen Firma möglich sind.
Wenn dann aber die externe Management Führungskraft tätig ist und in die Behörde reinwirkt sehe ich da schon Beteiligungsrechte der SBV. Aber da bin ich auf andere Antworten gespannt.