Hallo,

mit TVöD hat das Einsichtsrecht in die Personalakte genausowenig zu tun wie mit Kündigungsschutzklage, sondern mit § 83 BetrVG,
https://www.gesetze-im-internet.de/betrvg/__83.html
wenn Betriebsverfassung gilt.
Ob ein Schreiben relevant ist, hängt vom Inhalt ab. Wenn es allerdings der AG nicht in der Personalakte ablegt, kann es später auch nicht von ihm verwendet werden.
Deswegen kann eine Einsichtnahme in die Personalakte auch dahingehend sinnvoll sein, um festzustellen, was nicht in der Personalakte abgelegt ist.