Die Reisekosten würden jetzt anders abgerechnet, und ich dürfe
aufgrund meines Mandats keinerlei Vorteile gegenüber den anderen
Miarbeitern erhalten.

BAG Beschluss vom 07.06.1984 - 6 ABR 66/81
Entstehen einem Betriebsratsmitglied durch die Teilnahme an einer Schulungsveranstaltung nach § 37 Abs 6 BetrVG Kosten, die von ihm in der Höhe nicht beeinflussbar sind, kann dem Anspruch auf Freistellung nicht entgegengehalten werden, dass nach der im Betrieb bestehenden Reisekostenregelung diese Kosten nicht zu ersetzen sind.
Fazit: Auch wenn die Verpflegungstagessätze des Veranstalters höher sind als die betriebliche Reisekostenregelung und der Teilnehmer diese nicht beeinflussen kann, muss der Arbeitgeber die höheren Tagessätze erstatten. Jedoch muss der Seminarteilnehmer im Konfliktfall damit rechnen, dass ihm von den Verpflegungskosten eine Art Haushaltsersparnis abgezogen wird (Kosten für die Verpflegung im eigenen Haushalt oder in der Betriebskantine).

Gern würde ich einen Anwalt einschalten, wenn diese Reisekosten-
abrechnung nicht geändert wird.

Wie gehe ich dabei vor, wie begründe ich dem Arbeitgeber gegenüber
die Hinzuziehung eines Rechtsanwalts?
Behinderung im Mandat?

Siehe hier:
https://www.komsem.de/a-z/beschlussverfahren/

PS: Hilft dir denn dein Seminaranbieter, bei dem du das Seminar besucht hast, nicht weiter?