ich würde hierzu 1. eine arbeitsrechtliche Beratung einholen

Zustimmung.

2. den Beschäftigten für die Zukunft empfehlen, sich die Übermittlung der Mail durch das Programm bestätigen zu lassen, den damit hat man den Beweis, die Mail ist tatsächlich angekommen.

Ob das als Nachweis genügt, dass eine Mail angekommen ist und das sie lesbar und vollständig war bezweifle ich.