Hallo SbV.Sven,
es wurde von mir bereits auf den § 182 Abs. 2 Satz 2 SGB IX hingewiesen. Du bist Kraft des Gesetzes (SGB IX § 182) als Vertrauensperson die Verbindungsperson zur Bundesagentur für Arbeit. Also auch zu den besonderen Stellen nach § 187 Abs. 4 SGB IX. Du bist damit keine "unbefugte dritte Person". Das Argument "Datenschutz" ist eine vorgeschobenes Abwimmelungstotschlagbegründung, um dir gegenüber keine Auskunft zu geben.
Aber die Zusammenarbeit besteht nun mal. Selbst die Agentur für Arbeit nutzt diese z.B. beim Gleichstellungsantrag. Verweigerst du in dieser Situation die Auskunft beim Fragebogen, mit Hinweis auf den Datenschutz?
Nicht einfach abwimmeln lassen. Das persönliche Gespräch hilft weiter.
Es gibt im Notfall immer eine übergeordnete Dienststelle bei einer Behörde.

Aber dein Anfangsproblem war, dass der Arbeitgeber nicht weitere Stellen über die freie und zu besetzende Position informiert.
Werden die Anfragen und die Antworten des Arbeitgebers im Rahmen der Mitbestimmung nach § 99 BetrVG dem BR vorgelegt?
Der Arbeitgeber hat den BR von sich aus die erforderlichen Informationen vorzulegen. Im Zweifel soll der BR dies anfordern.
Der BR hat die Möglichkeit die Zustimmung zu verweigern, wenn eine personelle Maßnahme gegen ein Gesetz, eine Verordnung, eine Unfallverhütungsvorschrift oder gegen eine Bestimmung in einem Tarifvertrag oder in einer Betriebsvereinbarung oder gegen eine gerichtliche Entscheidung oder eine behördliche Anordnung verstoßen würde.
Die Verpflichtung nach § 164 Abs. 1 Satz 1 SGB IX ist eine gesetzliche Regelung, die durch den Arbeitgeber nicht eingehalten wird.
Eine gute Zusammenarbeit mit diesem Gremium eröffnet die Handlungsoptionen.
Der Arbeitgeber kann § 100 BetrVG heranziehen, was der BR mit § 101 BetrVG abwehren kann.

Als SBV würde ich auf die "haargenaue" Einhaltung des § 164 Abs. 1 SGB IX durch den Arbeitgeber achten und diesen nach § 178 Abs. 1 SGB IX überwachen.
Wird die SBV und der BR bereits von einer geplanten Stellenausschreibung unterrichtet?
Wird die Vorprüfung mit Beteiligung von SBV und BR gegenüber den behinderten Beschäftigten durchgeführt?
Erfolgt eine "frühzeitige" Information und Beauftragung zur Vermittlung an die Agentur für Arbeit und weiteren Stellen?
Wird eine Stellenausschreibung erst nach der "frühzeitigen" Information und Beauftragung zur Vermittlung (ca. 14 Tage) veröffentlicht?

Die SBV erfüllt ihre Aufgaben insbesondere dadurch, dass sie darüber wacht, dass die zugunsten schwerbehinderter Menschen geltenden Gesetze, Verordnungen, Tarifverträge, Betriebs- oder Dienstvereinbarungen und Verwaltungsanordnungen durchgeführt, insbesondere auch die dem Arbeitgeber nach den §§ 154, 155 und 164 bis 167 obliegenden Verpflichtungen erfüllt werden.

Erst mal das Anwenden, was einem zur Verfügung steht, bevor man weniger erfolgreiche Aktivitäten ggf. mit externer Hilfe auslöst. Man braucht Grundlagen, Belege und Beweise für eine rechtliche Durchsetzung.